Как найти точку максимума производной

Как найти точку максимума функции?

Поиск точки максимума и минимума функции — довольно распространенная задача в математическом анализе. Иногда требуется экстремум. Многие думают, что под словом «экстремум» подразумевают наибольшее или наименьшее значение функции. Это не совсем верно. Значение может быть наибольшим или минимальным, но не являться экстремумом.

Глобальный и локальный максимум

Максимум бывает локальным или глобальным. Точка локального максимума — это аргумент, который при подстановке в f(x) даёт значение не меньше, чем в других точках из области около этого аргумента. Для глобального максимума эта область расширяется до всей области допустимых аргументов. Для минимума всё наоборот. Экстремум — это локальное экстремальное — минимальное или максимальное — значение.

Как правило, если математиков интересует глобально самое большое значение f(x), то в интервале, не на всей оси аргументов. Подобные задачи обычно сформулированы фразой «найдите точку максимума функции на отрезке». Здесь подразумевается, что надо выявить аргумент, при котором она не меньше, чем на всём остальном указанном отрезке. Поиск локального экстремума является одним из шагов решения такой задачи.

Дано y = f(x). Требуется определить пик функции на указанном отрезке. f(x) может достигать его в точке:

экстремума, если она попадает в указанный отрезок,
разрыва,
ограничивающей заданный отрезок.

Исследование

Пик f(x) на отрезке или в интервале находится путём исследования данной функции. План исследования для нахождения максимума на отрезке (или интервале):

Найти область допустимых аргументов и пересечения этой области с областью исследования.
Выявить асимптоты. Они равны пределу при стремлении аргумента к точкам разрыва.
Определить первую производную и вычислить экстремальные точки и выяснить поведение функции в окрестности этих точек.
Рассчитать значение f(x) в точках, ограничивающих область исследования.
Сравнить экстремум со значением функции в точках разрыва и на концах интервала. Определить среди них наибольшее.

Теперь подробно разберем каждый шаг и рассмотрим некоторые примеры.

Область допустимых аргументов

Область допустимых аргументов — это те x, при подстановке которых в f(x) она не престаёт существовать.Область допустимых аргументов ещё называют областью определения. Например, y = x^2 определена на всей оси аргументов. А y = 1/x определена для всех аргументов, кроме x = 0.

Найти пересечение области допустимых аргументов и исследуемого отрезка (интервала) требуется для того, чтобы исключить из рассмотрения ту часть интервала, где функция не определена. Например, требуется найти минимум y = 1/x на отрезке от -2 до 2. На самом деле требуется исследовать два полуинтервала от -2 до 0 и от 0 до 2, так как уравнение у = 1/0 не имеет решения.

Асимптоты

Асимптота — это такая прямая, к которой функция тянется, но не дотягивается. Если f(x) существует на всей числовой прямой и неразрывна на ней, то вертикальной асимптоты у неё нет. Если же она разрывна, то точка разрыва является вертикальной асимптотой. Для y = 1/x асимптота задаётся уравнением x = 0. Эта функция тянется к нулю по оси аргументов, но дотянется до него, только устремившись в бесконечность.

Если на исследуемом отрезке имеется вертикальная асимптота, около которой функция стремится в бесконечность с плюсом, то пик f(x) на здесь не определяется. А если бы определялся, то аргумент, при котором достигается максимум, совпал бы с точкой пересечения асимптоты и оси аргументов.

Производная и экстремумы

Производная — это предел изменения функции при стремящемся к нулю изменении аргумента. Что это значит? Возьмём небольшой участок из области допустимых аргументов и посмотрим как изменится здесь f(x), а потом уменьшим этот участок до бесконечно малого размера, в этом случае f(x) станет изменяться так же, как и некая более простая функция, которая именуется производной.

Значение производной в определенной показывает под каким углом проходит касательная к функции в выбранной точке. Отрицательное значение говорит о том, что функция здесь убывает. Аналогично положительная производная говорит о возрастании f(x). Отсюда появляются два условия.

1) Производная в точке экстремума либо нулевая, либо неопределенная. Это условие необходимое, но недостаточно. Продифференцируем y = x^3, получим уравнение производной: y = 3*x^2. Подставим в последнее уравнение аргумент «0», и производная обратится в нуль. Однако, это не экстремум для y = x^3. У неё не может быть экстремумов, она убывает на всей оси аргументов.

Читать еще: Основные характеристики проводящих тканей

2) Достаточно, чтобы при пересечении точки экстремума у производной менялся знак. То есть, до максимума f(x) растёт, а после максимума она убывает — производная была положительной, а стала отрицательной.

После того как аргументы для локального максимума были найдены их надо подставить в исходное уравнение и получить максимальное значение f(x).

Концы интервала и сравнение результатов

При поиске максимума на отрезке необходимо проверить значение на концах отрезка. Например, для y = 1/x на отрезке [1; 7] максимум будет в точке x = 1. Даже если внутри отрезка есть локальный максимум, нет никакой гарантии, что значение на одном из концов отрезка не будет больше этого максимума.

Теперь необходимо сравнить значения в точках разрыва (если f(x) здесь не стремится в бесконечность), на концах исследуемого интервала и экстремум функции. Наибольшее из этих значений и будет максимумом функции на заданном участке прямой.

Для задачи с формулировкой «Найдите точку минимума функции» необходимо выбрать наименьшее из локальных минимумов и значений на концах интервала и в точках разрыва.

Видео

Найдите точку максимума функции

77419.Найдите точку максимума функции у=х 3 –48х+17

Найдём производную заданной функции:

Найдем нули производной:

Определим знаки производной функции подставляя значения из интервалов в полученную производную, и изобразим на рисунке поведение функции:

Получили, что в точке –4 производная меняет свой знак в положительного на отрицательный. Таким образом, точка х=–4 это искомая точка максимума.

77423. Найдите точку максимума функции у=х 3 –3х 2 +2

Найдём производную заданной функции:

Приравняем производную к нулю и решим уравнение:

Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке интервалы возрастания и убывания функции подставляя значения из каждого интервала в выражение производной:

В точке х=0 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть точка максимума.

77427. Найдите точку максимума функции у=х 3 +2х 2 +х+3

Найдём производную заданной функции:

При равняем производную к нулю и решим уравнение:

В точке х=–1 производная меняет знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

77431. Найдите точку максимума функции у=х 3 –5х 2 +7х–5

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

3х 2 – 10х + 7 = 0

Решая квадратное уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

Построим числовую ось, отметим нули производной. Определим знаки производной, подставляя произвольное значение из каждого интервала в выражение производной функции и схематично изобразим возрастание и убывание на интервалах:

3∙0 2 – 10∙0 + 7 = 7 > 0

3∙2 2 – 10∙2 + 7 = – 1 2 – 10∙3 + 7 = 4 > 0

В точке х = 1 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

77435. Найдите точку максимума функции у=7+12х–х 3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

Решая квадратное уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

12 – 3∙(–3) 2 = –15 2 = 12 > 0

В точке х = 2 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = – 2.

77439. Найдите точку максимума функции у=9х 2 –х 3

Найдём производную функции:

Найдем нули производной:

Решая уравнение получим:

*Это точки возможного максимума (минимума) функции.

18 (–1) –3 (–1) 2 = –21 2 = 15 > 0

В точке х=6 производная меняет свой знак с положительного на отрицательный, значит это есть искомая точка максимума.

*Для этой же функции точкой минимума является точка х = 0.

Понятие экстремума функции

Точка $x_<0>$ называется точкой локального максимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности выполняется неравенство: $f(x) leq fleft(x_<0>right)$.

Читать еще: Как защитить провод наушников от перегиба

Точка $x_<0>$ называется точкой локального минимума функции $f(x)$, если существует такая окрестность этой точки, что для всех $x$ из этой окрестности $f(x) geq fleft(x_<0>right)$.

Значение функции в точке максимума называется локальным максимумом, значение функции в точке минимума — локальным минимумом данной функции. Локальные максимум и минимум функции называются локальными экстремумами.

Точка $x_<0>$ называется точкой строгого локального максимума функции $y=f(x)$, если для всех $x$ из окрестности этой точки будет справедливо строгое неравенство $f(x) fleft(x_<0>right)$.

Наибольшее или наименьшее значение функции на промежутке называется глобальным экстремумом.

Глобальный экстремум может достигаться либо в точках локального экстремума, либо на концах отрезка.

Необходимое условие экстремума

(Необходимое условие экстремума)

Если функция $y=f(x)$ имеет экстремум в точке $x_<0>$, то ее производная $f^left(x_<0>right)$ либо равна нулю, либо не существует.

Точки, в которых производная равна нулю: $f^(x)=0$, называются стационарными точками функции.

Точки, в которых выполняется необходимое условие экстремума для непрерывной функции, называются критическими точками этой функции. То есть критические точки — это либо стационарные точки (решения уравнения $f^(x)=0$), либо это точки, в которых производная $f^(x)$ не существует.

Не в каждой своей критической точке функция обязательно имеет максимум или минимум.

Первое достаточное условие экстремума

(Первое достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

функция непрерывна в окрестности точки $x_<0>$;
$f^left(x_<0>right)=0$ или $f^left(x_<0>right)$ не существует;
производная $f^(x)$ при переходе через точку $x_<0>$ меняет свой знак.

Тогда в точке $x=x_<0>$ функция $y=f(x)$ имеет экстремум, причем это минимум, если при переходе через точку $x_<0>$ производная меняет свой знак с минуса на плюс; максимум, если при переходе через точку $x_<0>$ производная меняет свой знак с плюса на минус.

Если производная $f^(x)$ при переходе через точку $x_<0>$ не меняет знак, то экстремума в точке $x=x_<0>$ нет.

Таким образом, для того чтобы исследовать функцию $y=f(x)$ на экстремум, необходимо:

найти производную $f^(x)$;
найти критические точки, то есть такие значения $x$, в которых $f^(x)=0$ или $f^(x)$ не существует;
исследовать знак производной слева и справа от каждой критической точки;
найти значение функции в экстремальных точках.

Задание. Исследовать функцию $y(x)=x^<4>-1$ на экстремум.

Решение. Находим производную заданной функции:

Далее ищем критические точки функции, для этого решаем уравнение $y^(x)=0$:

Первая производная определена во всех точках. Таким образом, имеем одну критическую точку $x=0$. Наносим эту точку на координатную прямую и исследуем знак производной слева и справа от этой точки (для этого из каждого промежутка берем произвольное значение и находим значение производной в выбранной точке, определяем знак полученной величины):

Так как при переходе через точку $x=0$ производная сменила свой знак с «-» на «+», то в этой точке функция достигает минимума (или минимального значения), причем $y_=y(0)=0^<4>-1=-1$.

Замечание. Также можно определить интервалы монотонности функции: так как на интервале $(-infty ; 0)$ производная $y^(x) 0$, значит заданная функция возрастает на нем.

Ответ. $y_=y(0)=-1$

Второе достаточное условие экстремума

(Второе достаточное условие экстремума)

Пусть для функции $y=f(x)$ выполнены следующие условия:

она непрерывна в окрестности точки $x_<0>$;
первая производная $f^(x)=0$ в точке $x_<0>$;
$f^(x) neq 0$ в точке $x_<0>$ .

Тогда в точке $x_<0>$ достигается экстремум, причем, если $f^left(x_<0>right)>0$, то в точке $x=x_<0>$ функция $y=f(x)$ имеет минимум; если $f^left(x_<0>right) 0$, а значит, в этой точке функция достигает минимум, причем $y_=y(0)=frac<0^<2>-1><0^<2>+1>=-1$.

Ответ. $y_=y(0)=-1$

Задания по теме «Точки экстремума функции»

Открытый банк заданий по теме точки экстремума функции. Задания B12 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №1136

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(7x^2-56x+56)e^x на отрезке [-3; 2].

Решение

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения y’= (7x^2-56x+56)’e^x,+ (7x^2-56x+56)left(e^xright)’= (14x-56)e^x+(7x^2-56x+56)e^x= (7x^2-42x)e^x= 7x(x-6)e^x. Вычислим нули производной: y’=0;

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Из рисунка видно, что на отрезке [-3; 0] исходная функция возрастает, а на отрезке [0; 2] — убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-3; 2] достигается при x=0 и равно y(0)= 7cdot 0^2-56cdot 0+56=56.

Ответ

Задание №1135

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=12x-12tg x-18 на отрезке left[0;,frac<4>right].

Решение

Найдём производную исходной функции:

y’= (12x)’-12(tg x)’-(18)’= 12-frac<12>= frac<12cos ^2x-12>leqslant0. Значит, исходная функция является невозрастающей на рассматриваемом промежутке и принимает наибольшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=0. Наибольшее значение равно y(0)= 12cdot 0-12 tg (0)-18= -18.

Ответ

Задание №1134

Условие

Найдите точку минимума функции y=(x+8)^2e^.

Решение

Будем находить точку минимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^alpha и e^x:

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции. e^>0 при любом x . y’=0 при x=-8, x=-10.

Из рисунка видно, что функция y=(x+8)^2e^ имеет единственную точку минимума x=-8.

Ответ

Задание №1133

Условие

Найдите точку максимума функции y=8x-frac23x^tfrac32-106.

Решение

ОДЗ: x geqslant 0. Найдём производную исходной функции:

Вычислим нули производной:

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что точка x=64 является единственной точкой максимума заданной функции.

Ответ

Задание №1132

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=5x^2-12x+2ln x+37 на отрезке left[frac35; frac75right].

Решение

Найдём производную исходной функции:

Определим нули производной: y'(x)=0;

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на рассматриваемом промежутке.

Из рисунка видно, что на отрезке left[frac35; 1right] исходная функция убывает, а на отрезке left[1; frac75right] возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке left[frac35; frac75right] достигается при x=1 и равно y(1)= 5cdot 1^2-12cdot 1+2 ln 1+37= 30.

Ответ

Задание №1131

Условие

Найдите наибольшее значение функции y=(x+4)^2(x+1)+19 на отрезке [-5; -3].

Решение

Найдём производную исходной функции, используя формулу производной произведения:

Отыщем нули производной: y'(x)=0;

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Из рисунка видно, что на отрезке [-5; -4] исходная функция возрастает, а на отрезке [-4; -3] убывает. Таким образом, наибольшее значение на отрезке [-5; -3] достигается при x=-4 и равно y(-4)= (-4+4)^2(-4+1)+19= 19.

Ответ

Задание №1130

Условие

Найдите точки минимума функции y=sqrt.

Решение

Область определения: x^2+60x+1000 geqslant 0;

x^2 +2cdot30x+30^2+(1000-30^2)= (x+30)^2+100>0 для всех вещественных значений x . Заметим, что функция y=sqrt t строго возрастает на множестве tgeqslant0. Отсюда точка минимума исходной функции совпадёт с точкой минимума x_0 функции x^2+60x+1000. Точка минимума квадратичной функции с положительным старшим коэффициентом совпадает с абсциссой вершины соответствующей параболы. Вершина параболы имеет абсциссу x_0=-frac<60><2cdot1>=-30.

Ответ

Задание №1129

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=(5x^2-70x+70)e^ на отрезке [10; 15].

Решение

Найдём производную исходной функции по формуле производной произведения

Вычислим нули производной: y’=0;

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции на заданном отрезке.

Из рисунка видно, что на отрезке [10; 12] исходная функция убывает, а на отрезке [12; 15] — возрастает. Таким образом, наименьшее значение на отрезке [10; 15] достигается при x=12 и равно y(12)= (5cdot 12^2-70cdot 12+70)e^<12-12>= -50.

Ответ

Задание №1128

Условие

Найдите наименьшее значение функции y=32tg x — 32x-8pi+103 на отрезке left[-frac<4>; frac<4>right].

Решение

Найдём производную исходной функции:

y’= 32(tg x)’-(32x)’-(8pi )’+(103)’= frac<32>-32= frac<32-32cos ^2x>geqslant0. Значит, исходная функция является неубывающей на рассматриваемом промежутке и принимает

наименьшее значение на левом конце отрезка, то есть при x=-frac<4>. Наименьшее значение равно yleft(-frac<4>right)= 32tgleft(-frac<4>right)-32cdotleft(-frac<4>right)-8pi+103= -32+103= 71.

Ответ

Задание №1127

Условие

Найдите точку максимума функции y=(x+3)^2e^.

Решение

Будем находить точку максимума функции с помощью производной. Найдём производную заданной функции, пользуясь формулами производной произведения, производной x^alpha и e^x:

Расставим знаки производной и определим промежутки монотонности исходной функции.

Так как e^>0 для любого x , то y’=0 при x=-3, x=-5.

Из рисунка видно, что функция y=(x+3)^2e^ имеет единственную точку максимума x=-5.