0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Подготовка к ЕГЭЗадачи с параметрами

Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий, 2011

Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий В.С., 2011.

Книга посвящена решению задач с параметрами, которые для многих школьников традиционно являются задачами повышенной трудности. Задачи классифицированы как по типам, так и по методам решений, начиная от простейших задач до трудных, встречающихся на олимпиадах, ЕГЭ и вступительных экзаменах в МГУ.
Для учащихся 8-11 классов, учителей школ, гимназий, лицеев, слушателей подготовительных курсов.

ЧТО ТАКОЕ ПАРАМЕТР.
Как это ни покажется странным, задачи с параметрами мы решаем чуть ли не ежедневно, при этом в большинстве своем не зная, что такое параметр. Например, придя в магазин покупать какой-либо товар, мы смотрим на его цену. Если цена будет очень высокой, мы не купим его. Если цена будет вполне приемлемой, мы принимаем решение купить товар. Но если цена товара резко уменьшилась (например, в результате распродажи), мы можем купить несколько единиц этого товара. Таким образом, если рассматривать цену товара как параметр, то от значений этого параметра будет зависеть, купим или не купим мы этот товар, а если и купим, то сколько единиц.

Та же самая картина имеет место и в математике при решении уравнений. При одних значениях коэффициентов уравнение может вообще не иметь решений, при других — одно решение, при третьих — бесконечно много решений. Например, в школьном курсе алгебры мы часто встречались с ситуацией, когда квадратное уравнение в зависимости от значений коэффициентов имело два решения, одно решение или не имело решений вовсе.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ 5
ГЛАВА 1 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ 7
§ 1. Что такое параметр 7
§ 2. Различные формулировки задач с параметрами 8
Задачи для самостоятельного решения 10
ГЛАВА 2 ЛИНЕЙНЫЕ УРАВНЕНИЯ И НЕРАВЕНСТВА 13
§ 1. Линейные уравнения 13
§ 2. Линейные неравенства 18
Задачи для самостоятельного решения 22
ГЛАВА 3 КВАДРАТНЫЕ УРАВНЕНИЯ 25
Задачи для самостоятельного решения 50
ГЛАВА 4 КВАДРАТНЫЕ НЕРАВЕНСТВА 53
Задачи для самостоятельного решения 72
ГЛАВА 5 ЗАДАЧИ, СВОДЯЩИЕСЯ К ИССЛЕДОВАНИЮ КВАДРАТНОГО ТРЕХЧЛЕНА 75
§ 1. Уравнения и неравенства 75
§ 2. Дополнительный материал по алгебре 91
§ 3. Продолжение исследования уравнений и неравенств 96
Задачи для самостоятельного решения 102
ГЛАВА 6 ГРАФИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. МЕТОД СЕЧЕНИЙ 107
§ 1. Угол наклона прямой 107
§ 2. Уравнение прямой 108
§ 3. Геометрический смысл параметров прямой 108
§ 4. Графики линейных функций 108
§ 5. Вспомогательные задачи 111
§ 6. Параллельность и перпендикулярность прямых 113
§ 7. Графическое решение уравнений и неравенств 117
§ 8. Сечение семейством прямых у-а 119
§ 9. Сечение семейством прямых у = х + а 123
§ 10. Сечение семейством прямых у-ах 129
§ 11. Касание параболы и прямой 133
Задачи для самостоятельного решения 152
ГЛАВА 7 СИСТЕМЫ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 155
§ 1. Вводные замечания 155
§ 2. Исследование линейных систем методом подстановки 157
§ 3. Соотношения между коэффициентами системы в зависимости от числа решений 172
§ 4. Геометрическая интерпретация решений 175
Задачи для самостоятельного решения 176
ГЛАВА 8 СИСТЕМЫ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ 179
§ 1. Методы решения 179
Задачи для самостоятельного решения 190
§ 2. Аналитические методы исследования нелинейных систем с параметрами 191
Задачи для самостоятельного решения 206
§ 3. Графические методы исследования нелинейных систем с параметрами 208
Задачи для самостоятельного решения 232
ГЛАВА 9 ЗАДАЧИ С ПАРАМЕТРАМИ НА ЕДИНОМ ГОСУДАРСТВЕННОМ ЭКЗАМЕНЕ 235
Задачи для самостоятельного решения 271
ОТВЕТЫ 275
Глава 1 275
Глава 2 275
Глава 3 277
Глава 4 279
Глава 5 283
Глава 6 288
Глава 7 296
Глава 8 298
Глава 9 306
ЛИТЕРАТУРА 313.

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Задачи с параметрами при подготовке к ЕГЭ, Высоцкий, 2011 — fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать pdf
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России. Купить эту книгу

Что такое параметр? Простые задачи с параметрами

Одна из сложных задач Профильного ЕГЭ по математике — задача с параметрами. В ЕГЭ 2020 года это №18. И даже в вариантах ОГЭ они есть. Что же означает это слово — параметр?

Читать еще:  Расстояние на складе от товаров до светильников

Толковый словарь (в который полезно время от времени заглядывать) дает ответ: «Параметр — это величина, характеризующая какое-нибудь основное свойство устройства, системы, явления или процесса».

Хорошо, параметр — это какая-либо характеристика, свойство системы или процесса.

Вот, например, ракета выводит космический аппарат в околоземное пространство. Как вы думаете — какие параметры влияют на его полет?

Если корабль запустить с первой космической скоростью, приближенно равной 7,9 км/с, он выйдет на круговую орбиту.

Вторая космическая скорость, приближенно равная 11,2 км/с, позволяет космическому кораблю преодолеть поле тяжести Земли. Третья космическая скорость, приближенно равная 16,7 км/с, дает возможность преодолеть гравитационное притяжение Земли и Солнца и покинуть пределы Солнечной системы.

А если скорость меньше первой космической? Значит, тонны металла, топлива и дорогостоящей аппаратуры рухнут на землю, сопровождаемые репликой растерянного комментатора: «Кажется, что-то пошло не так».

Скорость космического корабля можно — параметр, от которого зависит его дальнейшая траектория и судьба. Конечно, это не единственный параметр. В реальных задачах науки и техники, задействованы уравнения, включающие функции многих переменных и параметров, а также производные этих функций.

1. Теперь пример из школьной математики.

Все мы помним, что такое квадратное уравнение. Это уравнение вида , где коэффициент а не равен нулю.

Количество корней квадратного уравнения зависит от знака выражения, которое называется дискриминант.

Дискриминант квадратного уравнения:

Если , квадратное уравнение имеет два корня: и

Если , квадратное уравнение имеет единственный корень

Если , квадратное уравнение не имеет действительных корней. Рассмотрим уравнение . Его дискриминант равен Если , то есть , это квадратное уравнение имеет два корня.

Если при , уравнение имеет единственный корень.

Если , то есть с > 1, корней нет.

В нашем уравнении с — параметр, величина, которая принимать любые значения. Но от этого параметра с зависит количество корней данного уравнения.

Для того чтобы уверенно решать задачи с параметрами, необходимо отличное знание и алгебры, и планиметрии.

И еще две простые задачи с параметром.

2. Найдите значение параметра p, при котором уравнение имеет 2 различных корня.

Квадратное уравнение имеет два различных корня, когда .

Найдем дискриминант уравнения

Т.к. , получим:

Вспомним, как решаются квадратичные неравенства (вы проходили это в 9 классе).

Найдем корни квадратного уравнения . Это и

Разложим левую часть неравенства на множители:

Рисуем параболу с ветвями вверх. Она пересекает ось р в точках и

3. При каких значениях параметра k система уравнений не имеет решений?

Оба уравнения системы — линейные. График линейного уравнения — прямая. Запишем уравнения системы в привычном для нас виде, выразив у через х:

Первое уравнение задает прямую с угловым коэффициентом . Второе уравнение — прямую с угловым коэффициентом -2.

Система уравнений не имеет решений, если эти прямые не пересекаются, то есть параллельны. Это значит, что и .

Действительно, в этом случае первое уравнение задает прямую , а второе — параллельную ей прямую

Урок по теме «Методы решения задач с параметрами»

Разделы: Математика

Цель данной работы – изучение различных способов решения задач с параметрами. Возможность и умение решать задачи с параметрами демонстрируют владение методами решения уравнений и неравенств, осмысленное понимание теоретических сведений, уровень логического мышления, стимулируют познавательную деятельность. Для развития этих навыков необходимы длительнее усилия, именно поэтому в профильных 10-11 классах с углубленным изучением точных наук введен курс: “Математический практикум”, частью которого является решение уравнений и неравенств с параметрами. Курс входит в число дисциплин, включенных в компонент учебного плана школы.

Успешному изучению методов решения задач с параметрами могут помочь элективный или факультативный курсы, или компонент за сеткой по теме: “Задачи с параметрами”.

Рассмотрим четыре больших класса задач с параметрами:

  1. Уравнения, неравенства и их системы, которые необходимо решить для любого значения параметра, либо для значений параметра, принадлежащих определенному множеству.
  2. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется определить количество решений в зависимости от значения параметра.
  3. Уравнения, неравенства и их системы, для которых требуется найти все те значения параметра, при которых указанные уравнения (системы, неравенства) имеют заданное число решений.
  4. Уравнения, неравенства и их системы, для которых при искомых значениях параметра множество решений удовлетворяет заданным условиям в области определения.
Читать еще:  Катарантус уход и размножение в домашних условиях

Методы решений задач с параметрами.

1. Аналитический метод.

Это способ прямого решения, повторяющий стандартные процедуры нахождения ответа в задачах без параметра.

Пример 1. Найдите все значения параметра a, при которых уравнение:

(2a – 1)x 2 + ax + (2a – 3) =0 имеет не более одного корня.

При 2a – 1 = 0 данное уравнение квадратным не является, поэтому случай a =1/2 разбираем отдельно.

Если a = 1/2, то уравнение принимает вид 1/2x – 2 = 0, оно имеет один корень.

Если a ≠ 1/2 , то уравнение является квадратным; чтобы оно имело не более одного корня необходимо и достаточно, чтобы дискриминант был неположителен:

Чтобы записать окончательный ответ, необходимо понять,

2. Графический метод.

В зависимости от задачи (с переменной x и параметром a) рассматриваются графики в координатной плоскости (x;y) или в плоскости (x;a).

Пример 2. Для каждого значения параметра a определите количество решений уравнения .

Заметим, что количество решений уравнения равно количеству точек пересечения графиков функций и y = a.

График функции показан на рис.1.

y = a – это горизонтальная прямая. По графику несложно установить количество точек пересечения в зависимости от a (например, при a = 11 – две точки пересечения; при a = 2 – восемь точек пересечения).

Ответ: при a 25/4 – два решения.

3. Метод решения относительно параметра.

При решении этим способом переменные х и а принимаются равноправными, и выбирается та переменная, относительно которой аналитическое решение становится более простым. После упрощений нужно вернуться к исходному смыслу переменных х и а и закончить решение.

Пример 3. Найти все значения параметра а , при каждом из которых уравнение = —ax +3a +2 имеет единственное решение.

Будем решать это уравнение заменой переменных. Пусть = t , t ≥ 0 , тогда x = t 2 + 8 и уравнение примет вид at 2 + t + 5a – 2 = 0 . Теперь задача состоит в том, чтобы найти все а, при которых уравнение at 2 + t + 5a – 2 = 0 имеет единственное неотрицательное решение. Это имеет место в следующих случаях.

1) Если а = 0, то уравнение имеет единственное решение t = 2.

Решение некоторых типов уравнений и неравенств с параметрами.

Задачи с параметрами помогают в формировании логического мышления, в приобретении навыков исследовательской деятельности.

Решение каждой задачи своеобразно и требует к себе индивидуального, нестандартного подхода, поскольку не существует единого способа решения таких задач.

Задача № 1. При каких значениях параметра b уравнение не имеет корней?

Ⅱ . Степенные уравнения, неравенства и их системы.

Задача №2. Найти все значения параметра a, при которых множество решений неравенства:

содержит число 6, а также содержит два отрезка длиной 6, не имеющие общих точек.

.

Преобразуем обе части неравенства.

Для того, чтобы множество решений неравенства содержало число 6, необходимо и достаточно выполнение условия:

Рис.4

При a > 6 множество решений неравенства: .

Интервал (0;5) не может содержать ни одного отрезка длины 6. Значит, два непересекающихся отрезка длины 6 должны содержаться в интервале (5; a).

Это

Ⅲ . Показательные уравнения, неравенства и системы.

Задача № 3. В области определения функции взяли все целые положительные числа и сложили их. Найти все значения, при которых такая сумма будет больше 5, но меньше 10.

1) Графиком дробно-линейной функции является гипербола. По условию x > 0. При неограниченном возрастании х дробь монотонно убывает и приближается к нулю, а значения функции z возрастают и приближаются к 5. Кроме того, z(0) = 1.

2) По определению степени область определения D(y) состоит из решений неравенства . При a = 1 получаем неравенство, у которого решений нет. Поэтому функция у нигде не определена.

3) При 0 0 , то z(x) > z(0) = 1 . Значит, каждое положительное значение х является решением неравенства . Поэтому для таких а указанную в условии сумму нельзя найти.

4) При a > 1 показательная функция с основанием а возрастает и неравенство равносильно неравенству . Если a ≥ 5 , то любое положительное число является его решением, и указанную в условии сумму нельзя найти. Если 1 7.05.2013

Подготовка к ЕГЭЗадачи с параметрами

Данная тема выделена в самостоятельный раздел из раздела Литература по математике для поступающих в вузы(часть I) с целью разгрузить последний и упорядочить информацию в нем. Новые позиции отмечены голубым знаком NEW.

Амелькин В. В., Рабцевич В. Л. Задачи с параметрами: Справ. пособие по математике.Мн.: ООО «Асар», 2004. — 464 с.; ил.; 3-е изд. доработ. ISBN 985-6711-03-7.
Пособие содержит 727 задач с параметрами и предназначено для углубленного изучения математики в средней школе и для подготовки к конкурсным экзаменам в ВУЗы.
Скачать (divu/rar, 600 dpi, 2,32 Мб)ifolder.ru || mediafire.com

Читать еще:  Какой пеной лучше запенить швы в доме

Голубев В.И. Решение сложных и нестандартных задач по математике.— 2007. — 252 с: ил.
Пособие посвящено методам решения задач повышенной сложности по алгебре и началам анализа. Основная часть задач, рассмотренных в книге, взята из вариантов вступительных экзаменов на различные факультеты вузов, предъявляющих высокие требования к знаниям по математике (МГУ, МИРЭА, МФТИ и др.). Основной акцент в этой книге сделан на изложение малоизвестных эффективных технологий решения нестандартных задач, таких, например, как метод трех точек, метод замены множителей, метод минимакса, информация по которым впервые представлена не в периодической печати. Описаны малоизвестные технические приемы, используемые при решении задач для обеспечения высокого темпа продвижения к ответу. Очень много задач с параметром. Главная цель книги состоит в снятии комплекса страха у абитуриентов и учителей при попытках овладения идеями и методами решения нестандартных задач.
Материал книги составляет часть многочисленных лекций автора для школьников и преподавателей в различных регионах страны.
Пособие рассчитано на учителей и учащихся общеобразовательных школ, студентов педагогических вузов, абитуриентов.
Книга предоставлена Robot
Скачать (divu/rar, 600 dpi, 2,73 Мб) Рапида || http://ifolder.ru || mediafire.com

Горнштейн П.И., Полонский В.Б., Якир М.С. Задачи с параметрами. — К.: РИА «Текст»; МП «ОКО», 1992. -290 с.
В книге рассматриваются аналитические, функциональные и графические методы решения задач с параметрами на примере более 700 задач, большинство из которых предлагалось на вступительных экзаменах в ведущие вузы. Материал пособия помимо деления на главы и параграфы разбит на пункты, посвященные определенным типам задач или приемам их решения. Часть задач разбирается очень подробно, при этом демонстрируется подчас несколько методов решения. Ко всем упражнениям приведены ответы.
Для преподавателей математики, студентов педагогических вузов, слушателей подготовительных отделений, абитуриентов, старшеклассников.
Книга предоставлена Robot
Скачать (divu/rar, 600 dpi, 4,34 Мб) Рапида || ifolder.ru || mediafire.com

Дорофеев Г.В. Квадратный трехчлен в задачах. — Львов, журнал Квантор, 1991, № 2. — 104 с.
Содержание: Азбука квадратного трехчлена. Квадратный трехчлен в неявном виде. Коэффициенты, корни и значення квадратного трехчлена. «Запрещенные» корни квадратного трехчлена. Отбор корней квадратного трехчлена на луче. Отбор корней квадратного трехчлена на конечном промежутке. Ответы, указания и решения.
Скачать (divu/rar, 600 dpi+ocr, 1.07 Мб) mediafire || ifolder.ru

Ефимов Е.А., Коломиец Л.В. Задачи с параметрами. Учебное пособие для факультета довузовской подготовки СГАУ. — Самара, 2006. — 64с.
Учебное пособие предназначено для занятий со слушателями подготовительных курсов факультета довузовской подготовки СГАУ и самостоятельной работы абитуриентов.
В учебное пособие включены все основные типы задач с параметрами, предлагаемых на вступительных экзаменах по математике в СГАУ, на централизованном тестировании и Едином государственном экзамене. Ко всем задачам приведены решения или ответы.
Скачать (340 кб) ifolder.ru || mediafire.com

Козко А.И., Чирский В.Г. Задачи с параметром и другие сложные задачи. — М., МЦНМО, 2007. — 296с.
Книга посвящена решению задач с параметрами. Помимо стандартных сведений в ней приведены оригинальные методы и приемы решения различных сложных задач. Кроме того, в книге рассмотрены задачи, связанные с методом математической индукции, и задачи по стереометрии. Большинство разбираемых авторами задач взято из вариантов вступительных экзаменов в МГУ.
Во второй части книги приведены варианты вступительных экзаменов 2003-2006 гг.
Для учащихся старших классов, преподавателей математики и абитуриентов.
Скачать 1,50 Мб ifolder.ru ||mediafire.com

Козко А. И., Панферов В. С, Сергеев И. Н., Чирский В. Г. ЕГЭ 2011. Математика. Задача С5. Задачи с параметром / Под ред. А. Л. Семенова и И. В.Ященко. — М.: МЦНМО, 2011.-144 с. ISBN 978-5-94057-667-9
Скачать (1.00 Мб, djvu/rar,600dpi+OCR) ifolder.ru || mediafire.com>

Корянов А.Г. Математика ЕГЭ 2010. Задания С5. — 71 с.
Сборник задач с ответами, указаниями и решениями. Представлены аналитические и функционально-графические методы
Скачать (pdf, 1,3 mb) сайт Ларина А.А.
Корянов А.Г., Прокофьев А.А. МАТЕМАТИКА ЕГЭ 2011(типовые задания С5) Уравнения и неравенства с параметрами: количество решений
Скачать пособие

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector