0 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Решение логарифмических неравенств методом интервалов

Решение комбинированных неравенств методом интервалов

Решение комбинированных неравенств методом интервалов

В этой статье я расскажу, как решать неравенства вида V, где P(x) и G(x) — произвольные функции, а V — один из знаков >, =0 «/>

Начнем с нахождения ОДЗ.

Подкоренное выражение может принимать только неотрицательные значения, и знаменатель дроби не может быть равен нулю. Получим систему неравенств:

=0> <7x-3>=0> -x-1<>0>>> < >» title=»delim<1><<10x-5>=0> <7x-3>=0> -x-1<>0>>> < >«/>

Вспомним об этой системе чуть позже.

Теперь нам нужно найти точки, в которых выражение, стоящее в левой части неравенства меняет знак — это нули числителя и знаменателя.

Чтобы их найти, нам нужно решить два иррациональных уравнения:

и

Решим первое уравнение. Оно равносильно системе:

=0> >> < >» title=»delim<1><=x+2> =0> >> < >«/>

=0> >> < >» title=»delim<1> <<10x-5=x^2+4x+4>=0> >> < >«/>

Решим первое уравнение системы:

. Корень этого уравнения удовлетворяет условию =0″ title=»x+2>=0″/>.

Внимание! Корень х=3 — корень четной кратности. В этом месте нужно быть внимательными — в корнях четной кратности функция знак не меняет.

Решим второе уравнение . Оно равносильно системе:

=0> >> < >» title=»delim<1><=x+1> =0> >> < >«/>

=0> >> < >» title=»delim<1> <<7x-3=x^2+2x+1>=0> >> < >«/>

Решим первое уравнение системы:

. Корни этого уравнения и удовлетворяют условию =0″ title=»x+1>=0″/>.

Нанесем корни числителя и знаменателя на числовую ось. Вспомним, что точки, соответствующие корням знаменателя мы всегда «выкалываем» (тем самым мы учтем последнее условие ОДЗ), а корни числителя в случае нестрогого неравенства закрашиваем:

Теперь самое время вспомнить об ОДЗ. Оно представляет из себя систему неравенств:

=0> <7x-3>=0> -x-1<>0>>> < >» title=»delim<1><<10x-5>=0> <7x-3>=0> -x-1<>0>>> < >«/>

Последнее условие системы мы учли, «выколов» нули знаменателя. Первые два условия: =1/2″ title=»x>=1/2″/> и =3/7″ title=»x>=3/7″/>

Теперь нужно аккуратно расставить знаки. В нашем случае знаки не столь очевидны, как при решении рациональных неравенств.

Возьмем число, больше большего корня, например, 10. (Мы можем это сделать, так как х=10 принадлежит ОДЗ неравенства) Подставим число 10 вместо х в левую часть неравенства, и выясним, какой знак она принимает в этой точке.

Числитель и знаменатель дроби отрицательны, поэтому вся дробь больше нуля, т.е. левая часть неравенства при х=10 больше нуля. Теперь расставим знаки, учитывая, что в точке х=3 смены знака не происходит.

Нас интересует промежуток, где выполняется условие ≥0.

Внимание! В случае нестрогого неравенства условие равенства нулю проверяем отдельно, то есть при записи ответа не забываем х=3.

Ответ: [)

И, в заключение, я предлагаю вам посмотреть видеоурок с решением неравенства

  • И.В. Фельдман, репетитор по математике.

    Логарифмические неравенства с переменным основанием

    (blacktriangleright) Рассмотрим неравенство [geqslant log_>>] (на месте знака (geqslant) может стоять любой из знаков (leqslant, >, 1\ f(x)geqslant g(x)\ g(x)>0 end\ &begin 0 0 end end end right.>>]

    ОДЗ: [begin x > 0\ xneq 1 end]

    На ОДЗ:
    исходное неравенство равносильно неравенству

    [begin dfrac<1>geqslant 1quadLeftrightarrowquad 0 0\ x^2neq 1\ x > 0\ xneq 1 end qquadLeftrightarrowqquad begin x > 0\ xneq 1 end]

    На ОДЗ:
    исходное неравенство равносильно неравенству

    [begin &dfrac<1><2>log_ <|x|>xgeqslant 1 + 2log_x |x|qquadLeftrightarrowqquaddfrac<1><2>log_ xgeqslant 1 + 2log_x xqquadLeftrightarrowqquad dfrac<1><2>geqslant 3,. end]

    Таким образом, [xinvarnothing.]

    ОДЗ: [begin x^2 > 0\ x^2neq 1\ x > 0\ x^3 > 0\ x^3neq 1 end qquadLeftrightarrowqquad begin x > 0\ xneq 1 end]

    Читать еще:  Интерпретация значения букв имени Елизавета

    На ОДЗ:
    исходное неравенство равносильно неравенству

    [begin &dfrac<1><2>log_ <|x|>xleqslant 5 + dfrac<2><3>log_ xqquadLeftrightarrowqquaddfrac<1><2>log_ xleqslant 5 + dfrac<2><3>qquadLeftrightarrowqquad dfrac<1><2>leqslant 5 + dfrac<2><3>,. end]

    Таким образом, исходное неравенство верно на ОДЗ: [xin(0; 1)cup(1; +infty).]

    ОДЗ: [begin x > 0\ xneq 1\ x^ <2016>> 0\ x^ <2016>neq 1\ x^2 > 0 end qquadLeftrightarrowqquad begin x > 0\ xneq 1 end]

    На ОДЗ:
    исходное неравенство равносильно неравенству

    [begin &2016log_ |x|leqslant log_5 x + dfrac<2><2016>log_ <|x|>|x|qquadLeftrightarrowqquad 2016log_ xleqslant log_5 x + dfrac<1><1008>qquadLeftrightarrow\ &Leftrightarrowqquad 2016 — dfrac<1><1008>leqslant log_5 xqquadLeftrightarrowqquad log_5 5^<2015frac<1007><1008>>leqslant log_5 xqquadLeftrightarrowqquad 5^<2015frac<1007><1008>>leqslant x,. end]

    Таким образом, с учётом ОДЗ исходное неравенство верно при [xin[5^<2015frac<1007><1008>>; +infty).]

    ОДЗ: [begin x^2 + 2x + 2 > 0\ x^2 + 2x + 2neq 1 end qquadLeftrightarrowqquad xneq -1]

    На ОДЗ:
    исходное неравенство равносильно неравенству

    Так как на ОДЗ (x^2 + 2x + 2 = (x + 1)^2 + 1 > 1) , то исходное неравенство равносильно неравенству

    [begin 4 > x^2 + 2x + 2quadLeftrightarrowquad x^2 + 2x — 2 0\ x^2+1ne 1\ (x-3)^2>0\ dfrac<(x-3)^2><(x^2+1)^3>>0 end quadLeftrightarrowquad begin xne 0\xne 3end] Таким образом, ОДЗ неравенства: (xin (-infty;0)cup(0;3)cup(3;+infty)) .
    Решим неравенство на ОДЗ. [log_<(x-3)^2>cdot (log_<(x-3)^2>-log_<(x^2+1)^3>)leqslant -2.] Сделаем замену (t=log_<(x-3)^2>) , тогда неравенство примет вид: [t(t-3)leqslant -2quadLeftrightarrowquad (t-1)(t-2)leqslant 0 quadLeftrightarrowquad 1leqslant tleqslant 2.] Сделаем обратную подстановку: [beginlog_<(x-3)^2>geqslant 1\ log_<(x-3)^2>leqslant 2end quadLeftrightarrowquad begin log_<(x-3)^2>geqslant log_<(x^2+1)>\ log_<(x-3)^2>leqslant log_ <(x^2+1)^2>end]

    Заметим, что т.к. по ОДЗ (x^2>0) , то (x^2+1>1) , следовательно, основания логарифмов больше единицы, а значит, оба неравенства системы равносильны [begin (x-3)^2geqslant x^2+1\ (x-3)^2leqslant (x^2+1)^2 endquadLeftrightarrowquad begin xleqslant dfrac43\[2ex] (x-3-x^2-1)(x-3+x^2+1)leqslant 0 endquadLeftrightarrowquad begin xleqslant dfrac43\[2ex] (x^2-x+4)(x+2)(x-1)geqslant 0end]

    Решая второе неравенство методом интервалов, получим (xin (-infty;-2]cup[1;+infty)) .
    Следовательно, после пересечения данного решения с (xleqslant frac43) и с ОДЗ получим окончательный ответ (xin (-infty;-2]cupleft[1;frac43right]) .

    Методы решения логарифмических неравенств

    Неравенство, содержащее неизвестное под знаком логарифма или (и) в его основании называется логарифмическим неравенством.

    В процессе решения логарифмических неравенств часто используются следующие утверждения относительно равносильности неравенств и учитываются свойства монотонности логарифмической функции.

    Утверждение 1. Если a > 1, то неравенство loga f(x) > loga g(x) равносильно системе неравенств

    Утверждение 2. Если 0 loga g(x) равносильно системе неравенств

    Утверждение 3. Неравенство logh(x) f(x) > logh(x) g(x) равносильно совокупности систем неравенств

      0 loga g(x) вместо знака > может фигурировать любой из знаков ?, 2 — x) ? log3(x + 8);d)

    b) e) log2x(x 2 — 5x + 6) 2 — x) ? log3(x + 8) Ы x 2 — x ? x + 8,Ы x 2 — 2x — 8 ? 0,Ыx+8 > 0,x > -8,Ы x ? -2,x ? 4,Ы x О (-8;-2]И[4;+Ґ).

    b) Основание логарифма число между нулем и единицей, поэтому, используя утверждение 2, получим

    c) Запишем 0 = log21 и, используя утверждение 1, получим

    Запишем и, используя утверждение 2, получим

    d) Используя утверждение 3, получим

    Ы x О (3;4),Ы x О (3;4).

    Решение первой системы совокупности:

    Решение второй системы совокупности:

    e) Запишем 1 = log2x2x, и используем утверждение 3 (учитывая, что знак > заменен на знак 0 сводятся подстановкой t = logax к алгебраическому неравенству F(t) > 0.

    Пример 2. Решить неравенства

    Решение. a) Обозначив , получим квадратное неравенство t 2 + t — 2 ? 0, откуда t ? -2 или t ? 1. Таким образом,

    b) Обозначив t = lgx, получим рациональное неравенство

    Используя метод интервалов (см., например, [1], [2]), получим

    В случае логарифмических неравенств, которые не имеют вид неравенств, входящих в утверждения 1-3, определяется ОДЗ и с помощью равносильных преобразований исходные неравенства сводятся к неравенствам, которые решаются с помощью утверждений 1-3.

    Читать еще:  Стиль прованс в интерьере городской квартиры

    Пример 3. Решить неравенства

    Решение. a) ОДЗ неравенства — множество (5;+Ґ). Используя свойство P2, получим неравенство

    lg(x — 2)(x — 5) 2 > t + 11,

    откуда t 5. Поскольку t ? 0, остается t > 5 или Ы x > 5.

    Учитывая ОДЗ, получим ответ: x О (5;+Ґ).

    d) ОДЗ неравенства есть множество (1;2)И(2;+Ґ). Используя обобщенный метод интервалов, получим

    Так как в ОДЗ log2(x-1) > 0 при x > 2 и log2(x-1) 3, значит,

    Все о логарифмических неравенствах. Разбор примеров

    Вам кажется, что до ЕГЭ еще есть время, и вы успеете подготовиться? Быть может, это и так. Но в любом случае, чем раньше школьник начинает подготовку, тем успешнее он сдает экзамены. Сегодня мы решили посвятить статью логарифмическим неравенствам. Это одно из заданий, а значит, возможность получить дополнительный балл.

    Вы уже знаете, что такое логарифм(log)? Мы очень надеемся, что да. Но даже если у вас нет ответа на этот вопрос, это не проблема. Понять, что такое логарифм очень просто.

    Почему именно 4? В такую степень нужно возвести число 3, чтобы получилось 81. Когда вы поняли принцип, можно приступать и к более сложным вычислениям.

    Неравенства вы проходили еще несколько лет назад. И с тех пор они постоянно встречаются вам в математике. Если у вас проблемы с решением неравенств, ознакомьтесь с соответствующим разделом.
    Теперь, когда мы познакомились с понятиями по отдельности, перейдем к их рассмотрению в общем.

    Логарифмические неравенства (определение)

    Самое простое логарифмическое неравенство.

    Простейшие логарифмические неравенства не ограничиваются этим примером, есть еще три, только с другими знаками. Зачем это нужно? Чтобы полнее понять, как решать неравенство с логарифмами. Теперь приведем более применимый пример, все еще достаточно простой, сложные логарифмические неравенства оставим на потом.

    Как это решить? Все начинается с ОДЗ. О нем стоит знать больше, если хочется всегда легко решать любое неравенство.

    Что такое ОДЗ? ОДЗ для логарифмических неравенств

    Аббревиатура расшифровывается как область допустимых значений. В заданиях для ЕГЭ нередко всплывает данная формулировка. ОДЗ пригодится вам не только в случае логарифмических неравенств.

    Посмотрите еще раз на вышеприведенный пример. Мы будем рассматривать ОДЗ, исходя из него, чтобы вы поняли принцип, и решение логарифмических неравенств не вызывало вопросов. Из определения логарифма следует что, 2х+4 должно быть больше нуля. В нашем случае это означает следующее.

    Это число по определению должно быть положительным. Решите неравенство, представленное выше. Это можно сделать даже устно, здесь явно, что X не может быть меньше 2. Решение неравенства и будет определением области допустимых значений.
    Теперь перейдем к решению простейшего логарифмического неравенства.

    Отбрасываем из обеих частей неравенства сами логарифмы. Что в результате у нас остается? Простое неравенство.

    Решить его несложно. X должен быть больше -0,5. Теперь совмещаем два полученных значения в систему. Таким образом,

    Это и будет область допустимых значений для рассматриваемого логарифмического неравенства.

    Зачем вообще нужно ОДЗ? Это возможность отсеять неверные и невозможные ответы. Если ответ не входит в область допустимых значений, значит, ответ попросту не имеет смысла. Это стоит запомнить надолго, так как в ЕГЭ часто встречается необходимость поиска ОДЗ, и касается она не только логарифмических неравенств.

    Алгоритм решения логарифмического неравенства

    Решение состоит из нескольких этапов. Во-первых, необходимо найти область допустимых значений. В ОДЗ будет два значения, это мы рассмотрели выше. Далее нужно решить само неравенство. Методы решения бывают следующими:

    • метод замены множителей;
    • декомпозиции;
    • метод рационализации.
    Читать еще:  Электропила цепная Макита Интерскол характеристики отзывы

    В зависимости от ситуации стоит применять один из вышеперечисленных методов. Перейдем непосредственно к решению. Раскроем наиболее популярный метод, который подходит для решения заданий ЕГЭ практически во всех случаях. Далее мы рассмотрим метод декомпозиции. Он может помочь, если попалось особенно «заковыристое» неравенство. Итак, алгоритм решения логарифмического неравенства.

    Примеры решения :

    Мы не зря взяли именно такое неравенство! Обратите внимание на основание. Запомните: если оно больше единицы, знак остается прежним при нахождении области допустимых значений; в противном случае нужно изменить знак неравенства.

    В результате мы получаем неравенство:

    Теперь приводим левую часть к виду уравнения, равному нулю. Вместо знака «меньше» ставим «равно», решаем уравнение. Таким образом, мы найдем ОДЗ. Надеемся, что с решением такого простого уравнения у вас не будет проблем. Ответы -4 и -2. Это еще не все. Нужно отобразить эти точки на графике, расставить «+» и «-». Что нужно для этого сделать? Подставить в выражение числа из интервалов. Где значения положительны, там ставим «+».

    Ответ: х не может быть больше -4 и меньше -2.

    Мы нашли область допустимых значений только для левой части, теперь нужно найти область допустимых значений правой части. Это не в пример легче. Ответ: -2. Пересекаем обе полученные области.

    И только теперь начинаем решать само неравенство.

    Упростим его, насколько возможно, чтобы решать было легче.

    Снова применяем метод интервалов в решении. Опустим выкладки, с ним уже и так все понятно по предыдущему примеру. Ответ.

    Но этот метод подходит, если логарифмическое неравенство имеет одинаковые основания.

    Решение логарифмических уравнений и неравенств с разными основаниями предполагает изначальное приведение к одному основанию. Далее применяйте вышеописанный метод. Но есть и более сложный случай. Рассмотрим один из самых сложных видов логарифмических неравенств.

    Логарифмические неравенства с переменным основанием

    Как решать неравенства с такими характеристиками? Да, и такие могут встретиться в ЕГЭ. Решение неравенств нижеследующим способом тоже полезно скажется на вашем образовательном процессе. Разберемся в вопросе подробным образом. Отбросим теорию, перейдем сразу к практике. Чтобы решать логарифмические неравенства, достаточно однажды ознакомиться с примером.

    Чтобы решить логарифмическое неравенство представленного вида, необходимо привести правую часть к логарифму с тем же основанием. Принцип напоминает равносильные переходы. В итоге неравенство будет выглядеть следующим образом.

    Собственно, остается создать систему неравенств без логарифмов. Используя метод рационализации, переходим к равносильной системе неравенств. Вы поймете и само правило, когда подставите соответствующие значения и проследите их изменения. В системе будут следующие неравенства.

    Воспользовавшись методом рационализации при решении неравенств нужно помнить следующее: из основания необходимо вычесть единицу, х по определению логарифма из обеих частей неравенства вычитается (правое из левого), два выражения перемножаются и выставляются под исходным знаком по отношению к нулю.

    Дальнейшее решение осуществляется методом интервалов, здесь все просто. Вам важно понять отличия в методах решения, тогда все начнет легко получаться.

    В логарифмических неравенствах много нюансов. Простейшие из них решать достаточно легко. Как сделать так, чтобы решать каждое из них без проблем? Все ответы вы уже получили в этой статье. Теперь впереди вас ждет длительная практика. Постоянно практикуйтесь в решении самых разных задач в рамках экзамена и сможете получить наивысший балл. Успехов вам в вашем непростом деле!

  • Ссылка на основную публикацию
    ВсеИнструменты
    Adblock
    detector
    ×
    ×