15 просмотров
Рейтинг статьи
1 звезда2 звезды3 звезды4 звезды5 звезд
Загрузка...

Как определить интервалы возрастания и убывания функции

Возрастание, убывание и монотонность функции

Понятие возрастания, убывания и монотонности функции

Исследование функции на возрастание и убывание может быть как самостоятельной задачей, так и одним из этапов полного исследования функции и построения её графика.

Функции, у которых имеет место убывание или возрастание на некотором числовом промежутке, называются монотонными функциями.

Возрастание функции. Функция называется возрастающей на интервале ]a, b[ , принадлежащем области определения функции, если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют бОльшие значения функции, т.е. если

x 2 > x 1 → f(x 2 ) > f(x 1 ) для всех x 1 и x 2 , принадлежащих интервалу.

Убывание функции. Функция называется убывающей на интервале ]a, b[ , если бОльшим значениям независимой переменной из этого интервала соответствуют меньшие значения функции, т.е. если

x 2 > x 1 → f(x 2 ) 0 ), то функция f(x) возрастает в этом промежутке.

Теорема 3 (достаточный признак убывания). Если во всех точках некоторого промежутка производная функции меньше нуля ( f ‘(x) < 0 ), то функция f(x) убывает на этом промежутке.

Замечание. Условия теорем 2 и 3 не являются в полной мере необходимыми. Их можно несколько ослабить, а именно заменить нестрогими неравенствами и считать, что производная функции больше или равна нулю ( f ‘(x) ≥ 0 ) или меньше или равна нулю ( f ‘(x) ≤ 0 ), так как заключения теорем остаются справедливыми и тогда, когда производная обращается в нуль в конечном множестве точек.

Пример 1. Найти промежутки возрастания и убывания функции

Решение. Находим производную функции:

(Для разложения квадратного двухчлена на множители решали квадратное уравнение).

Для отыкания промежутков возрастания и убывания функции найдём точки, в которых . Такими точками являются и .

Исследуем знаки производной в промежутках, ограниченных этими точками. От до точки знак положителен, от точки до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Ответ на вопрос задания: промежутки возрастания данной функции — и , а промежуток убывания функции — .

Пример 2. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Находим производную функции:

Решая уравнение , получаем точки, в которых производная функции равна нулю:

.

Исследуем знаки производной. От до точки знак положителен, от точки до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Наше исследование показало, что промежутки возрастания данной функции и , а промежуток убывания —

Пример 3. Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение. Область определения функции — промежуток , так как логарифмическая функция определена при .

Далее находим производную функции:

.

Решая уравнение , получаем точку, в которой производная равна нулю:

Исследуем знаки производной. От 0 до точки знак отрицателен, от точки до знак положителен. Ответ: промежуток убывания функции — , а промежуток возрастания — .

Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты

Основные свойства функций. Понятие функции. Область определения и значения. Четность
и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность
(возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты. Алгоритм описания функции.

Понятие функции. Область определения и значения

  • Числовая функцияy=f(x) это соответствие, которое каждому числу x (аргумент функции) из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y (значение функции)
  • Область определения функции D это множество значений х
  • Область значений функции E это множество значений y
  • График функции это множество точек координатной плоскости (x,y), таких, что y=f(x)

Понятие функции. Четность и нечетность

  • Функция f(x)четная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения f(-x)=f(x)
  • График четной функции симметричен относительно оси y

  • Функция f(x)нечетная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения f(-x)=-f(x)
  • График нечетной функции симметричен относительно начала координат
Читать еще:  Стеклянный стол элемент стильного интерьера

Понятие функции. Периодичность

  • Функция f(x)периодическая, с периодом T>0, если для любого x из области определения значения x+T и x-T также принадлежат области определениыя f(x)=f(x+T)=f(x-T)
  • График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов

Нули функции:

  • Нуль функции f(x) — значение аргумента x, при котором функция обращается в нуль: f(x)=0
  • В нуле функции ее график имеет общую точку (пересекается) с осью x

Промежутки знакопостоянства:

  • Промежутки знакопостоянства функции f(x) это промежутки, на которых функция сохраняет знак.

Монотонность (возрастание, убывание):

  • Определение возрастающей функции: Функция f(x) — возрастающая на интервале (a:b), если для любых x1 и x2 из этого интервала, таких, что x1 f(x2)

Экстремумы (максимумы и минимумы):

  • Внутренняя точка xmax области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x) f(xmin)
  • Значение ymin=f(xmin) называется минимум функции.

Асимптоты:

  • Асимтота графика это прямая, к которой неограниченно приближается точка при удалении этой точки по бесконечной ветви:

Алгоритм описания функции:

  1. Область определения функции
  2. Область значения функции
  3. Является ли функция периодической
  4. Является ли функция четной или нечетной
  5. Точки пересечения графика с осями координат
  6. Промежутки знакопостоянства
  7. Интервалы возрастания и убывания
  8. Абсциссы и ординаты точек экстремума
  9. Наличие асимптот

Консультации и техническая
поддержка сайта: Zavarka Team

Связь производной с возрастанием/убыванием функции

(blacktriangleright) Если производная положительна на промежутке ((a;b)) , то функция на нем строго возрастает. (f'(x)>0 Longrightarrow f(x) uparrow)

Если производная отрицательна на промежутке ((a;b)) , то функция на нем строго убывает. (f'(x) 0) равносильно тому, что (f(x)) возрастает в (x_0) .

На интервале ((-0,5; 4,3)) целыми являются точки (0) , (1) , (2) , (3) , (4) . Среди этих точек (f(x)) возрастает только в (1) , (2) и (4) . Таким образом, производная функции (y = f(x)) положительна в (3) целых точках.

На рисунке изображен график функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-0,5; 4,3)) . Определите количество целых точек (у которых координата – целое число), в которых производная функции отрицательна.

Для функции (f(x)) , у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, (f'(x_0) 0) .

На интервале ((-0,6; 4,8)) целыми являются точки (0) , (1) , (2) , (3) , (4) . Среди этих точек (f'(x)) положительна только в (1) и (3) . Таким образом, произведение целых точек, в которых функция возрастает, равно (3cdot 1 = 3) .

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-1,5; 4,5)) . Найдите промежутки возрастания функци (y = f(x)) . В ответе укажите сумму целых точек, входящих в эти промежутки.

Для функции (f(x)) , у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, утверждение о том, что (f(x)) возрастает в (x_0) равносильно тому, что (f'(x_0) > 0) .

На интервале ((-1,5; 4,5)) целыми являются точки (-1) , (0) , (1) , (2) , (3) , (4) . Среди этих точек (f'(x)) положительна только в (-1) , (0) и (1) . Таким образом, сумма целых точек, в которых функция возрастает, равна (-1 + 0 + 1 = 0) .

На рисунке изображен график (y = f'(x)) – производной функции (y = f(x)) , определенной на интервале ((-1,5; 4,5)) . Найдите промежутки убывания функции (y = f(x)) . В ответе укажите количество целых точек, входящих в эти промежутки.

Читать еще:  Причины почему ноутбук не видит принтер

Для функции (f(x)) , у которой производная в точке (x_0) имеет смысл, утверждение о том, что (f(x)) убывает в (x_0) равносильно тому, что (f'(x_0)

Выпускная работа в форме ЕГЭ для 11-классников обязательно содержит задания на вычисление пределов, промежутков убывания и возрастания производной функции, поиск точек экстремума и построение графиков. Хорошее знание этой темы позволяет правильно ответить на несколько вопросов экзамена и не испытывать затруднений в дальнейшем профессиональном обучении.

Основы дифференциального исчисления – одна из главных тем математики современной школы. Она изучает применение производной для исследования зависимостей переменных – именно через производную можно проанализировать возрастание и убывание функции без обращения к чертежу.

Комплексная подготовка выпускников к сдаче ЕГЭ на образовательном портале «Школково» поможет глубоко понять принципы дифференцирования – подробно разобраться в теории, изучить примеры решения типовых задач и попробовать свои силы в самостоятельной работе. Мы поможем вам ликвидировать пробелы в знаниях – уточнить представление о лексических понятиях темы и зависимостях величин. Ученики смогут повторить, как находить промежутки монотонности, что значит подъем или убывание производной функции на определенном отрезке, когда граничные точки включаются и не включаются в найденные интервалы.

Прежде чем начинать непосредственное решение тематических задач, мы рекомендуем сначала перейти к разделу «Теоретическая справка» и повторить определения понятий, правила и табличные формулы. Здесь же можно прочитать, как находить и записывать каждый промежуток возрастания и убывания функции на графике производной.

Все предлагаемые сведения излагаются в максимально доступной форме для понимания практически «с нуля». На сайте доступны материалы для восприятия и усвоения в нескольких различных формах – чтения, видеопросмотра и непосредственного тренинга под руководством опытных учителей. Профессиональные педагоги подробно расскажут, как найти промежутки возрастания и убывания производной функции аналитическими и графическими способами. В ходе вебинаров можно будет задать любой интересующий вопрос как по теории, так и по решению конкретных задач.

Вспомнив основные моменты темы, просмотрите примеры на возрастание производной функции, аналогичные заданиям экзаменационных вариантов. Для закрепления усвоенного загляните в «Каталог» — здесь вы найдете практические упражнения для самостоятельной работы. Задания в разделе подобраны разного уровня сложности с учетом наработки навыков. К каждому из них, например, на нахождение производной функции, прилагаются алгоритмы решений и правильные ответы.

Выбирая раздел «Конструктор», учащиеся смогут попрактиковаться в исследовании возрастания и убывания производной функции на реальных вариантах ЕГЭ, постоянно обновляемых с учетом последних изменений и нововведений.

Достаточные признаки возрастания и убывания функции

На основании достаточных признаков находятся промежутки возрастания и убывания функции.

Вот формулировки признаков:

  • если производная функции y = f(x) положительна для любого x из интервала X, то функция возрастает на X;
  • если производная функции y = f(x) отрицательна для любого x из интервала X, то функция убывает на X.

Таким образом, чтобы определить промежутки возрастания и убывания функции необходимо:

  • найти область определения функции;
  • найти производную функции;

  • решить неравенства и на области определения;
  • к полученным промежуткам добавить граничные точки, в которых функция определена и непрерывна.

Рассмотрим пример для разъяснения алгоритма.

Пример.

Найти промежутки возрастания и убывания функции .

Решение.

Первым шагом является нахождение обрасти определения функции. В нашем примере выражение в знаменателе не должно обращаться в ноль, следовательно, .

Переходим к производной функции:

Для определения промежутков возрастания и убывания функции по достаточному признаку решаем неравенства и на области определения. Воспользуемся обобщением метода интервалов. Единственным действительным корнем числителя является x = 2, а знаменатель обращается в ноль при x = 0. Эти точки разбивают область определения на интервалы, в которых производная функции сохраняет знак. Отметим эти точки на числовой прямой. Плюсами и минусами условно обозначим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. Стрелочки снизу схематично показывают возрастание или убывание функции на соответствующем интервале.

Читать еще:  Принтер не печатает и недоступен что делать

Таким образом, и .

В точке x = 2 функция определена и непрерывна, поэтому ее следует добавить и к промежутку возрастания и к промежутку убывания. В точке x = 0 функция не определена, поэтому эту точку не включаем в искомые интервалы.

Приводим график функции для сопоставления с ним полученных результатов.

Ответ: функция возрастает при , убывает на интервале (0; 2].

— Точки экстремума функции одной переменной. Достаточные условия экстремума

Пусть функция f(x), определенная и непрерывная в промежутке [a,b], не является в нем монотонной. Найдутся такие части [ , ] промежутка [a,b], в которых наибольшее и наименьшее значение достигается функцией во внутренней точке, т.е. между и .

Говорят, что функция f(x) имеет в точке максимум (или минимум), если эту точку можно окружить такой окрестностью (x— ,x+ ), содержащейся в промежутке, где задана функция, что для всех её точек выполняется неравенство.

Иными словами, точка x доставляет функции f(x) максимум (минимум), если значение f(x) оказывается наибольшим (наименьшим) из значений, принимаемых функцией в некоторой (хотя бы малой) окрестности этой точки. Отметим, что самое определение максимума (минимума) предполагает, что функция задана по обе стороны от точки x.

Если существует такая окрестность, в пределах которой (при x=x) выполняется строгое неравенство

то говорят, что функция имеет в точке x собственный максимум (минимум), в противном случае – несобственный.

Если функция имеет максимумы в точках x и x1 , то, применяя к промежутку [x,x1] вторую теорему Вейерштрасса, видим, что наименьшего своего значения в этом промежутке функция достигает в некоторой точке x2 между x и x1 и имеет там минимум. Аналогично, между двумя минимумами непременно найдется максимум. В том простейшем (и на практике – важнейшим) случае, когда функция имеет вообще лишь конечное число максимумов и минимумов, они просто чередуются.

Заметим, что для обозначения максимума или минимума существует и объединяющий их термин – экстремум.

Понятия максимум (max f(x)) и минимум (min f(x)) являются локальными свойствами функции и имеют место в определенной точке х. Понятия наибольшего (sup f(x)) и наименьшего (inf f(x)) значений относятся к конечному отрезку [a,b] и являются глобальными свойствами функции на отрезке.

Из рисунка 1 видно, что в точках х1 и х3 локальные максимумы, а в точках х2 и х4 – локальные минимумы. Однако, наименьшего значения функция достигает в точке х=а, а наибольшего – в точке х=b.

Поставим задачу о разыскании всех значений аргумента, доставляющих функции экстремум. При решении ее основную роль будет играть производная.

Предположим сначала, что для фунции f(x) в промежутке(a,b) существует конечная производная. Если в точке х функция имеет экстремум, то, применяя к промежутку (х— ,х+ ), о которой была речь выше, теорему Ферма, заключаем, что f(x)=0 этом состоит необходимое условие экстремума. Экстремум следует искать только в тех точках, где производная равна нулю.

Не следует, думать, однако, что каждая точка, в которой производная равна нулю, доставляет функции экстремум : указанное только что необходимое условие неявляется достаточным

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector